Grok 4.20 (Beta) meningkatkan batas bawah sebesar 9,1% pada perimeter Gaussian set cembung dalam dua menit. Ini adalah sesuatu yang ditunjukkan kepada saya oleh Xinyuan Xie. Kembali pada tahun 1993, Keith Ball menunjukkan bahwa keliling Gaussian dari benda cembung dalam ruang Euclidean n-dimensi dibatasi dari atas oleh 4n^{1/4}. Adapun batas bawah, Ball menunjukkan bahwa untuk kubus (dengan ukuran yang sesuai) kelilingnya dapat tumbuh sebagai \sqrt{\log(n)}. Jadi ada celah untuk sementara waktu tentang ikatan mana yang tajam, sampai tahun 2003, ketika, dalam sebuah makalah yang indah, Fedor Nazarov menunjukkan bahwa pada contoh polihedron acak (persimpangan banyak setengah ruang acak) batas bawah dapat tumbuh sebagai C n^{1/4}, dengan C=\exp(-5/4)=0,286.... Selain itu, Nazarov juga meningkatkan konstanta 4 di batas atas (menggantinya dengan 0,64) ketika n besar. Batas-batas ini tetap tak terkalahkan sampai saat ini, ketika pada tahun 2019 Martin Raic berhasil meningkatkan faktor konstanta batas atas dari 0,64 menjadi 0,59. Grok 4.20 (Beta), dengan lebih hati-hati mengoptimalkan konstruksi Nazarov, berhasil meningkatkan konstanta batas bawah dari 0.286 menjadi 0.3126. Saya menemukan ini mengejutkan bahkan jika itu hanya bermain dalam teknik makalah Nazarov, karena baru-baru ini Nadimpalli--Pascale (2025) memposting pracetak di mana, dengan pendekatan yang berbeda, mereka memulihkan batas bawah Nazarov dengan faktor konstanta yang sama 0,286.... Grok sangat murah hati dalam tanggapannya: ia mengatakan bahwa perbaikan yang diberikannya mengikuti argumen yang sama dari Nazarov "baris demi baris", sedangkan ketika saya meminta model lain (selain Grok) untuk memverifikasi klaim Grok, mereka menyetujui segala sesuatu kecuali bagian ini; Mereka mengatakan peningkatan itu tidak benar-benar "baris demi baris" :D. Akhirnya, saya tidak akan mengatakan bahwa Nazarov melewatkan peningkatan ini. Mengenalnya untuk waktu yang lama, saya cukup yakin bahwa adalah hal yang umum baginya untuk mengorbankan konstanta optimal untuk keanggunan aljabar. Mengapa semua ini menarik? Memiliki kontrol atas perimeter Gaussian memungkinkan seseorang untuk mengontrol ekor Fourier dari fungsi karakteristik himpunan ini, yang mengarah pada pengendalian kompleksitas waktu pembelajaran PAC dan algoritma pembelajaran agnostik untuk keluarga ini (lihat Klivans--O'Donnell--Servedio). Referensi: Tautan obrolan dengan Grok 4.20 (Beta). Bola Keith. Masalah Isoperimetrik Terbalik untuk Ukuran Gaussian. Geometri Diskrit dan Komputasi, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O'Donnell, dan Rocco A Servedio. Mempelajari konsep geometris melalui luas permukaan Gaussian. Dalam Proc. Simposium IEEE ke-49 tentang Yayasan Ilmu Komputer (FOCS), halaman 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Pada perimeter Gaussian maksimum dari set cembung, ditinjau kembali. Pracetak (2025) Fedor Nazarov. Pada perimeter maksimum cembung yang ditetapkan dalam R^n sehubungan dengan ukuran Gaussian. Dalam Aspek Geometris Analisis Fungsional (2001-2002) halaman 169–187. Catatan Kuliah dalam Matematika, Volume 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Teorema Berry-Esseen multivariat dengan konstanta eksplisit. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853

Penafian: Saya telah memberikan akses awal ke versi beta internal Grok 4.20 Itu menemukan fungsi Bellman baru untuk salah satu masalah yang telah saya kerjakan dengan siswa saya N. Alpay. Masalahnya berkurang menjadi mengidentifikasi fungsi maksimal titik U(p,q) di bawah dua kendala dan memahami perilaku U(p,0). Dalam makalah kami, kami membuktikan U(p,0)\geq I(p), di mana I(p) adalah profil isoperimetrik Gaussian, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} sebagai p ~ 0. Setelah ~5 menit, Grok 4.20 menghasilkan rumus eksplisit U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, di mana \tau adalah waktu keluar gerak Brownian dari (0,1) mulai dari p. Ini menghasilkan U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) pada p ~ 0, peningkatan akar kuadrat dalam faktor logaritma. Apakah ada signifikansi dari hasil ini? Itu tidak akan memberi tahu Anda bagaimana mengubah dunia besok. Sebaliknya, ini memberikan langkah kecil untuk memahami apa yang terjadi dengan rata-rata analog stokastik turunan (variasi kuadrat) dari fungsi Boolean: seberapa kecil mereka?  Lebih tepatnya, ini memberikan batas bawah yang tajam pada norma L1 dari fungsi kuadrat dyadic yang diterapkan pada fungsi indikator 1_A himpunan A \subset [0,1]. Dalam tweet saya sebelumnya tentang fungsi Takagi, kami melihat bahwa batas bawah yang tajam pada ||S_1(1_A)||_1 secara ajaib bertepatan dengan fungsi Takagi dari |SEBUAH| yang (mengejutkan bagi saya) terkait dengan hipotesis Riemann. Di sini, kita mendapatkan batas bawah yang tajam pada ||S_2(1_A)||_1 diberikan oleh E \sqrt{\tau}, di mana gerak Brownian dimulai pada |SEBUAH|. Fungsi ini termasuk dalam keluarga profil tipe isoperimetri, tetapi tidak seperti fungsi Takagi fraktal, fungsi ini halus dan tidak bertepatan dengan profil isoperimetri Gaussian. Akhirnya, dalam analisis harmonik diketahui bahwa fungsi kuadrat tidak dibatasi dalam L^1. Pertanyaannya di sini lebih tentang rasa ingin tahu: bagaimana tepatnya meledak ketika diuji pada fungsi Boolean 1_A.  Sebelumnya, batas bawah yang paling terkenal adalah |SEBUAH|(1-|SEBUAH|) (Burkholder—Davis—Gandy). Dalam makalah kami, kami memperoleh |SEBUAH| (1-|SEBUAH|)\sqrt{log(1/(|SEBUAH|(1-|A|)))}. Fungsi Bellman Grok baru ini memberikan |SEBUAH| (1-|SEBUAH|) \log(1/(|SEBUAH|(1-|A|))) dan batas ini sebenarnya tajam.

Jika Anda terus menguji masalah Erdős dengan LLM, kemungkinan besar Anda pada akhirnya akan menyelesaikan salah satu masalah yang terbuka. Para ahli tidak melakukan ini (untuk alasan yang jelas). Non-ahli berasumsi bahwa para ahli melakukannya. Mereka tidak.