Grok 4.20 (Beta) покращує нижню межу на 9,1% на гаусівському периметрі опуклих множин за дві хвилини. Це те, на що мені вказав Сін'юань Сє. Ще у 1993 році Кіт Болл показав, що гаусівський периметр опуклого тіла в n-вимірному евклідовому просторі обмежений зверху 4n^{1/4}. Щодо нижньої межі, Болл показав, що для куба (відповідного розміру) периметр може зростати як \sqrt{\log(n)}. Отже, деякий час існувала прогалина щодо того, яка межа є гострою, аж до 2003 року, коли у чудовій статті Федор Назаров показав, що на прикладі випадкового багатогранника (перетин багатьох випадкових півпросторів) нижня межа може зростати як C n^{1/4}, де C=\exp(-5/4)=0.286.... Крім того, Назаров також покращив константу 4 у верхній межі (замінивши її на 0,64), коли n велика. Ці межі залишалися незмінними до недавнього часу, коли у 2019 році Мартін Райк зміг покращити константний коефіцієнт верхньої межі з 0,64 до 0,59. Grok 4.20 (Beta), більш ретельно оптимізуючи конструкцію Назарова, зміг покращити константу нижньої межі з 0.286 до 0.3126. Мене це дивує, навіть якщо це просто гра в рамках технік статті Назарова, адже зовсім недавно Надімпаллі — Паскаль (2025) опублікували препринт, де з іншим підходом вони відновили нижню межу Назарова з тим самим сталим коефіцієнтом 0,286.... Grok був дуже щедрим у своїй відповіді: він стверджував, що покращення, яке він надає, відповідає тому ж аргументу Назарова «рядок за рядком», тоді як коли я попросив інших моделей (окрім Grok) підтвердити твердження Grok, вони погодилися у всьому, крім цієї частини; Вони сказали, що покращення не є «рядок за рядком» :D. Нарешті, я б не сказав, що Назаров пропустив це покращення. Знаючи його давно, я впевнений, що він часто жертвує оптимальними константами заради алгебраїчної елегантності. Чому все це цікаво? Контроль над гаусівським периметром дозволяє керувати фур'є-хвостами характеристичних функцій цих множин, що дозволяє контролювати часову складність алгоритмів навчання PAC та агностичного навчання для цієї сімейства (див. Кліванс — О'Доннелл — Серведіо). Джерела: Посилання на чат з Grok 4.20 (бета). Кіт Болл. Зворотна ізопериметрична задача для гауссової міри. Дискретна та обчислювальна геометрія, 10:411–420, 1993. Адам Кліванс, Раян О'Доннелл і Рокко А. Серведіо. Вивчення геометричних понять через гаусову площу поверхні. У проєкті 49-го симпозіуму IEEE з основ комп'ютерних наук (FOCS), сторінки 541–550, 2008. Шівам Надімпаллі, Калеб Паскаль. На максимальному гаусівському периметрі опуклих множин, переглянуто. Препринт (2025) Федір Назаров. На максимальному периметрі опуклої множини в R^n відносно гаусової міри. У книзі «Геометричні аспекти функціонального аналізу» (2001–2002), сторінки 169–187. Конспекти лекцій з математики, том 1807, Springer, 2003 Мартін Райц. Багатовимірна теорема Беррі–Ессена з явними константами. Бернуллі 25(4A), 2019, 2824–2853

Відмова від відповідальності: я надав ранній доступ до внутрішньої бета-версії Grok 4.20 Він знайшов нову функцію Bellman для однієї з задач, над якою я працював зі своїм учнем Н. Алпаєм. Задача зводиться до ідентифікації максимальної функції U(p,q) за двома обмеженнями та розуміння поведінки U(p,0). У нашій статті ми довели U(p,0)\geq I(p), де I(p) — гаусівський ізопериметричний профіль, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} як p ~ 0. Через ~5 хвилин Grok 4.20 отримав явну формулу U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, де \tau — час виходу броунівського руху з (0,1), починаючи з p. Це дає U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) при p ~ 0, що є квадратним кореневим покращенням логарифмічного множника. Чи має цей результат якесь значення? Вона не скаже вам, як змінити світ завтра. Натомість це дає невеликий крок до розуміння того, що відбувається зі середніми стохастичними аналогами похідних (квадратична варіація) булевих функцій: наскільки вони можуть бути малими?  Точніше, це дає чітку нижню межу норми L1 діадичної квадратної функції, застосованої до індикаторних функцій 1_A множин A \subset [0,1]. У моєму попередньому твіті про функцію Такаґі ми побачили, що різка нижня межа на ||S_1(1_A)||_1 дивовижним чином збігається з функцією Такаґі |A| що (на диво для мене) пов'язано з гіпотезою Рімана. Тут отримуємо різку нижню межу на ||S_2(1_A)||_1 задається E \sqrt{\tau}, де броунівський рух починається з |A|. Ця функція належить до сімейства ізопериметричних профілів, але, на відміну від фрактальної функції Такагі, вона гладка і не збігається з гаусівським ізопериметричним профілем. Нарешті, у гармонічному аналізі відомо, що квадратна функція не обмежена в L^1. Питання тут більше стосувалося цікавості: як саме він вибухає при тестуванні на булевих функціях 1_A.  Раніше найвідомішою нижньою межею була |A|(1-|A|) (Беркхолдер—Девіс—Генді). У нашій статті ми отримали |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Ця нова функція Беллмана Грока дає |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) І ця палітура насправді гостра.

Якщо ви продовжите тестувати задачі Ердеша з LLM, дуже ймовірно, що зрештою розв'яжете одну з відкритих. Експерти цього не роблять (з очевидних причин). Неексперти припускають, що це роблять експерти. Вони не такі.