Grok 4.20 (Beta) verbetert de ondergrens met 9,1% op de Gaussische omtrek van convexe verzamelingen in twee minuten. Dit is iets dat me werd gewezen door Xinyuan Xie. Terug in 1993 toonde Keith Ball aan dat de Gaussische omtrek van een convexe lichaam in n-dimensionale Euclidische ruimte van bovenaf is begrensd door 4n^{1/4}. Wat betreft de ondergrens, toonde Ball aan dat voor een kubus (van geschikte grootte) de omtrek kan groeien als \sqrt{\log(n)}. Dus er was een tijdje een kloof over welke grens scherp is, totdat in 2003, in een prachtig artikel, Fedor Nazarov toonde dat aan de hand van een voorbeeld van een willekeurig polyhedron (de doorsnede van veel willekeurige halve ruimtes) de ondergrens kan groeien als C n^{1/4}, met C=\exp(-5/4)=0.286…. Bovendien verbeterde Nazarov ook de constante 4 in de bovengrens (vervangen door 0.64) wanneer n groot is. Deze grenzen bleven onverslagen tot recentelijk, toen Martin Raic in 2019 erin slaagde de constante factor van de bovengrens te verbeteren van 0.64 naar 0.59. Grok 4.20 (Beta), door Nazarov’s constructie zorgvuldiger te optimaliseren, slaagde erin de constante van de ondergrens te verbeteren van 0.286 naar 0.3126. Ik vind dit verrassend, zelfs als het gewoon binnen de technieken van Nazarov’s artikel speelt, omdat zeer recent Nadimpalli--Pascale (2025) een preprint plaatste waarin, met een andere benadering, ze Nazarov’s ondergrens met dezelfde constante factor 0.286… herstelden. Grok was zeer genereus in zijn reactie: het zei dat de verbetering die het bood dezelfde argumentatie van Nazarov ``regel-voor-regel'' volgt, terwijl toen ik andere modellen (anders dan Grok) vroeg om Grok’s claim te verifiëren, ze het eens waren over alles behalve dit deel; ze zeiden dat de verbetering niet echt ``regel-voor-regel'' is :D. Ten slotte zou ik niet zeggen dat Nazarov deze verbetering heeft gemist. Hem al lange tijd kennende, ben ik er vrij zeker van dat het gebruikelijk voor hem is om optimale constanten op te offeren voor algebraïsche elegantie. Waarom is dit allemaal interessant? Controle over de Gaussische omtrek stelt je in staat om de Fourier-staart van karakteristieke functies van deze verzamelingen te beheersen, wat leidt tot controle over de tijdcomplexiteit van PAC-leer- en agnostische leeralgoritmen voor deze familie (zie Klivans--O’Donnell--Servedio). Referenties: Chatlink met Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. Het Omgekeerde Isoperimetrische Probleem voor Gaussische Maat. Discrete en Computationele Geometrie, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O’Donnell, en Rocco A Servedio. Leren van geometrische concepten via Gaussische oppervlakte. In Proc. 49e IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), pagina's 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Over de Maximaal Gaussische Omtrek van Convexe Verzamelingen, Herzien. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Over de maximale omtrek van een convexe set in R^n met betrekking tot een Gaussische maat. In Geometrische Aspecten van Functionele Analyse (2001-2002) pagina's 169–187. Lecture Notes in Mathematics, Volume 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Een multivariate Berry–Esseen-theorema met expliciete constanten. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853

Disclaimer: Ik had vroege toegang gegeven tot de interne bètaversie van Grok 4.20 Het vond een nieuwe Bellman-functie voor een van de problemen waar ik aan werkte met mijn student N. Alpay. Het probleem reduceert tot het identificeren van de puntgewijze maximale functie U(p,q) onder twee beperkingen en het begrijpen van het gedrag van U(p,0). In ons paper hebben we bewezen dat U(p,0)\geq I(p), waarbij I(p) het Gaussische isoperimetrische profiel is, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} als p ~ 0. Na ~5 minuten produceerde Grok 4.20 een expliciete formule U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, waarbij \tau de tijd is dat de Browniaanse beweging het interval (0,1) verlaat, beginnend bij p. Dit levert U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) op bij p ~ 0, een vierkantswortelverbetering in de logaritmische factor. Heeft dit resultaat enige betekenis? Het zal je niet vertellen hoe je de wereld morgen kunt veranderen. Het geeft eerder een kleine stap richting het begrijpen van wat er aan de hand is met gemiddelden van stochastische analogen van afgeleiden (kwadratische variatie) van Booleaanse functies: hoe klein kunnen ze zijn? Meer precies, dit geeft een scherpe ondergrens voor de L1-norm van de dyadische vierkante functie toegepast op indicatorfuncties 1_A van verzamelingen A \subset [0,1]. In mijn vorige tweet over de Takagi-functie zagen we dat de scherpe ondergrens op ||S_1(1_A)||_1 miraculously samenvalt met de Takagi-functie van |A| die (verrassend voor mij) gerelateerd is aan de Riemann-hypothese. Hier verkrijgen we een scherpe ondergrens op ||S_2(1_A)||_1 gegeven door E \sqrt{\tau}, waarbij de Browniaanse beweging begint bij |A|. Deze functie behoort tot de familie van isoperimetrische-type profielen, maar in tegenstelling tot de fractale Takagi-functie, is het glad en komt het niet overeen met het Gaussische isoperimetrische profiel. Ten slotte is het in de harmonische analyse bekend dat de vierkante functie niet gebonden is in L^1. De vraag hier was meer uit nieuwsgierigheid: hoe precies explodeert het wanneer het getest wordt op Booleaanse functies 1_A. Eerder was de beste bekende ondergrens |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). In ons paper hebben we |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))} verkregen. Deze nieuwe Bellman-functie van Grok geeft |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) en deze ondergrens is eigenlijk scherp.

Als je blijft testen met Erdős-problemen met LLM's, is de kans groot dat je uiteindelijk een van de openstaande problemen oplost. Experts doen dit niet (om voor de hand liggende redenen). Niet-experts gaan ervan uit dat de experts het doen. Dat doen ze niet.